文章目录
1.随机试验与随机事件1.1 随机试验1.2 样本点、样本空间与随机事件1.3 随机事件1.4 随机事件发生1.5 必然事件和不可能事件
2 事件间的关系及运算2.1 事件包含2.2 事件相等2.3 事件的并2.4 事件的交2.5 事件的差2.6 事件互斥（不相容）2.7 事件对立（逆事件）2.8 事件运算律
3 概率定义3.1 概率的统计定义3.2 概率的公理化定义
4 古典概型4.1 古典概型4.2 几何概型
1.随机试验与随机事件
自然界与社会生活中的两类现象：
确定性现象不确定现象
1.1 随机试验
如果试验满足以下三个特点：
重复性：相同条件下，试验可以重复进行明确性：饰演的所有可能结果事先都是已知的随机性：每次试验的具体结果，在试验前无法预知，就称此试验为随机试验，通常用
E
E
E表示。
比如：
抛一枚硬币，观察其出现正面和反面的情况
1.2 样本点、样本空间与随机事件
样本点：随机试验中每种可能出现的情况，
ω
\omega
ω表示样本点 。
样本空间：随机试验所有可能出现的结果组成的集合，用
Ω
\Omega
Ω表示。
1.3 随机事件
随机事件：样本点组成的集合，称为事件。
随机事件是样本空间
Ω
\Omega
Ω的子集
基本事件：由一个样本点组成的事件，称为基本事件。
例：抛出两枚骰子可能出现的情况有36种
两个骰子均为1点的情况，一个样本点组成，基本事件两个骰子点数之和为3的情况，(1,2)和(2,1)两种情况，是一个随机事件
1.4 随机事件发生
一个随机事件A，A事件种包含了一些样本点，在进行随机试验KaTeX parse error: Undefined control sequence: \E at position 1: \̲E̲的时候，如果随机试验中的样本点落在了A中，就表示事件A发生了，否则就称A没有发生。
1.5 必然事件和不可能事件
必然事件：样本点组成的集合是样本空间。 不可能事件：样本点组成的集合是空集
2 事件间的关系及运算
2.1 事件包含
如果事件A发生，一定导致事件B发生，就称为事件A包含于B，记作
A
⊂
B
A\subset B
A⊂B。
⊘
⊂
A
⊂
B
\oslash \subset A \subset B
⊘⊂A⊂B事件A发生，当前仅当样本样本点落在A中
2.2 事件相等
事件A和事件B相互包含
2.3 事件的并
事件A和事件B至少有一个发生，记作
A
∪
B
A\cup B
A∪B或者
A
+
B
A+B
A+B。
2.4 事件的交
事件A和事件B同时发生，记作
A
∩
B
A\cap B
A∩B或
A
B
AB
AB
A
B
⊂
A
⊂
A
∪
B
AB\subset A \subset A \cup B
AB⊂A⊂A∪B
A
B
⊂
B
⊂
A
∪
B
AB\subset B\subset A \cup B
AB⊂B⊂A∪B
2.5 事件的差
一个事件在事件A中不在事件B中，A发生B不发生称为A事件与B事件的差事件
2.6 事件互斥（不相容）
事件A和事件B没有交集，
A
B
=
⊘
AB = \oslash
AB=⊘，从事件的角度来讲，AB不可能同时发生。
2.7 事件对立（逆事件）
事件A和事件B没有交集，并且事件A的样本点+事件B的样本点为样本空间。
A
B
=
⊘
AB = \oslash
AB=⊘ and
A
+
B
=
Ω
A + B = \Omega
A+B=Ω 对立一定互斥，互斥不一定对立
例：事件A和事件B恰有一个发生
A
∪
B
A \cup B
A∪B 表示AB至少有一个发生，也表示事件A和事件B恰好有一个发生或恰好有两个发生
2.8 事件运算律
事件表示：
A、B、C至少发生一个：
A
∪
B
∪
C
A\cup B \cup C
A∪B∪CA、B、C同时发生：ABCA、B、C恰好一个发生：AB’C’ + A’BC‘+A’B’C
3 概率定义
3.1 概率的统计定义
将随机事件E重复进行n次，如果事件A发生了k次，就称为k为事件A发生的频数，k/A为事件A发生的频率。如果当试验次数n越来越大时，k/n总在某一定值p的附近做微小的、稳定的波动，且当n趋向于无穷大的时候，k/n无线趋向于p，就称p为事件A的概率，记为P(A)，P(A) = p。
频率稳定在概率附近使用此定义是求不出概率的
3.2 概率的公理化定义
设随机试验E的样本空间为Ω，如果p满足：
非负性，P(A)>=0规范性，P(Ω)=1可列可加性，两两不相同的事件，
P
(
A
1
∪
A
2
∪
.
.
.
∪
A
n
∪
.
.
.
)
P(A_1 \cup A_2 \cup ...\cup A_n \cup ...)
P(A1∪A2∪...∪An∪...) =
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
.
.
.
.
.
P(A_1) + P(A_2) + .....
P(A1)+P(A2)+.....
就称P(A)为事件A的概率
性质：
非负性：设A为任一随机事件，概率在[0,1]规范性：P(Ω) = 1有限可加性差事件的概率公式（减法公式）：设A、B为任意两个随机事件：
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A-B) = P(A) - P(AB)
P(A−B)=P(A)−P(AB)
如果
B
⊂
A
B\subset A
B⊂A，则有
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
B
)
P(A-B) = P(A)-P(B)
P(A−B)=P(A)−P(B)，且
P
(
B
)
≤
P
(
A
)
P(B) \le P(A)
P(B)≤P(A) 对立事件概率计算公式：设A为任意随机事件，则
P
(
A
‾
)
=
1
−
P
(
A
)
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
P(A)=1−P(A)，涉及到至少和最多的概率，可以用这个公式进行转化。并事件概率公式（加法公式）：设A、B为任意两个随机事件：
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(A \cup B) = P(A) + P(B)- P(AB)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
A,B如果互斥：
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)推广：
P
(
A
∪
B
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
B
)
−
P
(
A
C
)
−
P
(
B
C
)
+
P
(
A
B
C
)
P(A \cup B \cup C) = P(A) +P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
4 古典概型
4.1 古典概型
如果随机试验E满足：
随机试验E的样本空间Ω中只有有限个样本点每次试验各个基本事件出现的概率相等
就称随机事件E为等可能概型试验或者古典概型试验。
P
(
A
)
=
事件
A
所含样本点的个数
所有样本点的个数
P(A) = \frac {事件A所含样本点的个数}{所有样本点的个数}
P(A)=所有样本点的个数事件A所含样本点的个数
古典概型中的计算方式主要是计数，所以通常采用排列组合的方式
上述案例中，盒子多球少，每个盒子至多有一个球，n个球需要放到n个盒子中。
4.2 几何概型
如果随机试验E的样本空间为某几何区域（可以是一维或二维区域），每次随机试验中各基本事件出现的概率相等，就称随机试验E为几何概型试验。
P
(
A
)
=
A
的几何测度
Ω
的几何测度
P(A) = \frac {A的几何测度}{\Omega的几何测度}
P(A)=Ω的几何测度A的几何测度